Extraer factor común
En el ámbito de las matemáticas, simplificar expresiones algebraicas es una habilidad fundamental. Sacar factor común es una técnica que facilita este proceso al descomponer una expresión en términos más manejables. La idea principal es identificar un factor que aparece en todos los términos de la expresión y luego reescribirla como el producto de ese factor común y una nueva expresión que contiene los demás términos.
Sacar factor común es una herramienta esencial para simplificar expresiones, resolver ecuaciones, factorizar polinomios y comprender mejor el comportamiento de las funciones. Esta técnica es útil en diversos campos como la física, la química, la ingeniería y la economía, donde las expresiones algebraicas son usadas para modelar y analizar fenómenos.
Este artículo tiene como objetivo brindar una guía detallada sobre cómo sacar factor común, incluyendo ejemplos concretos y pasos claros para ayudarte a dominar esta técnica. Aprenderás a identificar los factores comunes, aplicar la técnica en diferentes casos y comprender la utilidad de esta herramienta en diversos contextos matemáticos.
Identificando el factor común
El primer paso para sacar factor común es identificar el factor que se repite en todos los términos de la expresión. Este factor puede ser un número, una variable o una combinación de ambos.
Ejemplo 1:
Considera la expresión \(3x + 6y\). En este caso, el factor común es 3, ya que 3 es un factor de 3x (3 x 1x) y de 6y (3 x 2y).
Ejemplo 2:
En la expresión \(4a^2 - 8ab\), el factor común es \(4a\), ya que 4a es un factor de \(4a^2\) (4a x a) y de \(8ab\) (4a x 2b).
Ejemplo 3:
La expresión \(x^3 + 2x^2 - 5x\) tiene como factor común a \(x\), ya que \(x\) es un factor de \(x^3\) (x x x x), \(2x^2\) (x x 2x) y \(-5x\) (x x -5).
Sacando el factor común
Una vez que has identificado el factor común, el siguiente paso es escribir la expresión como el producto de ese factor y una nueva expresión. Para ello, dividimos cada término de la expresión original por el factor común.
Ejemplo 1:
En la expresión \(3x + 6y\), el factor común es 3. Dividiendo cada término por 3, obtenemos:
\(3x + 6y = 3(x + 2y)\)
Ejemplo 2:
En la expresión \(4a^2 - 8ab\), el factor común es \(4a\). Dividiendo cada término por \(4a\), obtenemos:
\(4a^2 - 8ab = 4a(a - 2b)\)
Ejemplo 3:
En la expresión \(x^3 + 2x^2 - 5x\), el factor común es \(x\). Dividiendo cada término por \(x\), obtenemos:
\(x^3 + 2x^2 - 5x = x(x^2 + 2x - 5)\)
Simplificando expresiones
Sacar factor común es una técnica fundamental para simplificar expresiones algebraicas. Al descomponer la expresión original en términos más simples, podemos realizar operaciones matemáticas más fácilmente, resolver ecuaciones de manera eficiente y analizar el comportamiento de las funciones de forma más clara.
Ejemplo 1:
Considera la expresión \(2x(3x + 5) - 4x(x - 2)\). Para simplificar esta expresión, podemos sacar factor común \(2x\):
\(2x(3x + 5) - 4x(x - 2) = 2x(3x + 5 - 2(x - 2))\)
\(= 2x(3x + 5 - 2x + 4)\)
\(= 2x(x + 9)\)
Ejemplo 2:
La expresión latex^2 - (x + 2)(x - 1)[/latex] puede simplificarse sacando factor común latex[/latex]:
latex^2 - (x + 2)(x - 1) = (x + 2)(x + 2 - (x - 1))[/latex]
\(= (x + 2)(x + 2 - x + 1)\)
\(= (x + 2)(3)\)
\(= 3(x + 2)\)
Resolviendo ecuaciones
Sacar factor común también es una técnica útil para resolver ecuaciones. Al sacar factor común en una ecuación, podemos obtener expresiones más simples que nos permiten encontrar la solución de manera más fácil.
Ejemplo 1:
La ecuación \(3x^2 + 6x = 0\) se puede resolver sacando factor común \(3x\):
\(3x^2 + 6x = 3x(x + 2) = 0\)
De esta manera, obtenemos dos soluciones:
\(3x = 0 Rightarrow x = 0\)
\(x + 2 = 0 Rightarrow x = -2\)
Ejemplo 2:
La ecuación \(2x^3 - 8x = 0\) se puede resolver sacando factor común \(2x\):
\(2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 0\)
\(= 2x(x - 2)(x + 2) = 0\)
En este caso, obtenemos tres soluciones:
\(2x = 0 Rightarrow x = 0\)
\(x - 2 = 0 Rightarrow x = 2\)
\(x + 2 = 0 Rightarrow x = -2\)
Sacando factor común en polinomios
Sacar factor común es una técnica fundamental para factorizar polinomios. Al sacar factor común en un polinomio, podemos descomponerlo en factores más simples, lo que facilita el análisis del comportamiento de la función que representa.
Ejemplo 1:
El polinomio \(x^2 + 5x + 6\) se puede factorizar sacando factor común \(x + 2\):
\(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
Ejemplo 2:
El polinomio \(2x^2 - 5x - 3\) se puede factorizar sacando factor común \(2x + 1\):
\(2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)\)
Pasos importantes
Para sacar factor común en una expresión algebraica, sigue estos pasos:
- Identifica el factor común: Examina todos los términos de la expresión y busca el factor que se repite en todos ellos.
- Escribe la expresión como el producto del factor común y una nueva expresión: Divide cada término de la expresión original por el factor común y coloca el resultado entre paréntesis.
- Simplifica la nueva expresión: Si es posible, simplifica la expresión dentro de los paréntesis.
Recuerda que *sacar factor común es una técnica versátil que se puede aplicar en una amplia variedad de situaciones matemáticas. Aprender a dominar esta técnica te ayudará a simplificar expresiones, resolver ecuaciones, factorizar polinomios y comprender mejor el comportamiento de las funciones.*
Video Referencial sobre el tema
