Máximos y mínimos de una función (con problemas resueltos)

En el fascinante mundo del cálculo, encontrar los máximos y mínimos de una función es una habilidad crucial. Estos puntos, conocidos como extremos, representan los valores más altos o más bajos que una función puede alcanzar en un determinado intervalo. La búsqueda de estos puntos tiene aplicaciones prácticas en campos como la ingeniería, la economía y la física, donde optimizar las funciones es esencial para obtener resultados ideales.

Determinar el máximo o mínimo de una función, ya sea local o global, requiere analizar su comportamiento. En este análisis, las derivadas juegan un papel fundamental, ya que nos permiten identificar los puntos críticos donde la función puede alcanzar un valor máximo o mínimo. Conocer estos puntos críticos nos permite comprender mejor el comportamiento de la función y tomar decisiones informadas sobre su optimización.

Este artículo te guiará a través del proceso de encontrar máximos y mínimos de funciones utilizando las herramientas del cálculo diferencial. Exploraremos los conceptos de extremos relativos y absolutos, aprenderemos a identificar los puntos críticos y usaremos la prueba de la segunda derivada para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo. Te presentaremos 10 ejemplos de ejercicios de máximos y mínimos resueltos que te ayudarán a aplicar estos conceptos en la práctica.

Extremos relativos y absolutos

Comencemos definiendo los dos tipos principales de extremos que podemos encontrar en una función:

Extremos relativos: También llamados máximos y mínimos locales, son los puntos más altos o más bajos de la función en un entorno inmediato. Imagina una montaña: el pico de la montaña es un máximo relativo porque es el punto más alto en un área específica.

Extremos absolutos: Estos representan los valores más altos o más bajos que la función alcanza en todo su dominio. Volviendo a la analogía de la montaña, el punto más alto de toda la cordillera sería el máximo absoluto.

Puntos críticos: la clave para encontrar máximos y mínimos

Para identificar los puntos críticos de una función, necesitamos encontrar los valores de \(x\) donde su derivada primera es igual a cero o no está definida. En otras palabras, buscamos los puntos donde la pendiente de la tangente a la gráfica de la función es cero o no existe.

Estos puntos críticos son candidatos potenciales para ser máximos o mínimos de la función. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos. Para determinar si un punto crítico es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, necesitamos aplicar la prueba de la segunda derivada.

La prueba de la segunda derivada: desentrañando los misterios de los puntos críticos

La prueba de la segunda derivada nos ayuda a clasificar los puntos críticos como máximos, mínimos o puntos de inflexión. Consiste en evaluar la segunda derivada de la función en el punto crítico:

• Si la segunda derivada es positiva, el punto crítico es un mínimo local.
• Si la segunda derivada es negativa, el punto crítico es un máximo local.
• Si la segunda derivada es cero, la prueba no proporciona información concluyente y necesitamos recurrir a otras herramientas para clasificar el punto crítico.

10 ejemplos de ejercicios de máximos y mínimos resueltos

Ahora, vamos a poner en práctica todo lo que hemos aprendido con algunos ejemplos de máximos y mínimos.

Ejemplo 1: Una función cuadrática

Función: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = 2x - 4\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(2x - 4 = 0 Rightarrow x = 2\)

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = 2\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en el punto crítico:
\(f''(2) = 2 > 0\)

Conclusión: La segunda derivada es positiva, por lo que \(x = 2\) es un mínimo local.

Ejemplo 2: Una función cúbica

Función: \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(3x^2 - 6x = 0 Rightarrow x(3x - 6) = 0 Rightarrow x = 0, x = 2\)

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = 6x - 6\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos:
\(f''(0) = -6 < 0\) (Máximo local)
\(f''(2) = 6 > 0\) (Mínimo local)

Conclusión: \(x = 0\) es un máximo local y \(x = 2\) es un mínimo local.

Ejemplo 3: Una función exponencial

Función: \(f(x) = e^x - x\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = e^x - 1\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(e^x - 1 = 0 Rightarrow e^x = 1 Rightarrow x = 0\)

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = e^x\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en el punto crítico:
\(f''(0) = e^0 = 1 > 0\)

Conclusión: \(x = 0\) es un mínimo local.

Máximos y mínimos de una función ejemplos

Ejemplo 4: Una función con un punto crítico donde la segunda derivada es cero

Función: \(f(x) = x^4\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = 4x^3\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(4x^3 = 0 Rightarrow x = 0\)

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = 12x^2\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en el punto crítico:
\(f''(0) = 0\)

Conclusión: La segunda derivada es cero en \(x = 0\), por lo que la prueba no nos da información. Para clasificar el punto crítico, podemos observar el comportamiento de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de \(x = 0\). La primera derivada es negativa para \(x < 0\) y positiva para \(x > 0\), lo que indica que \(x = 0\) es un mínimo local.

Ejemplo 5: Una función con un punto crítico donde la segunda derivada no está definida

Función: \(f(x) = |x|\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = begin{cases}
1 & text{si } x > 0
-1 & text{si } x < 0
text{no definida} & text{si } x = 0
end{cases}\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos:
\(x = 0\) es un punto crítico porque la derivada no está definida en ese punto.

Paso 3: La segunda derivada no está definida en \(x = 0\), por lo que la prueba de la segunda derivada no es aplicable.

Conclusión: \(x = 0\) es un mínimo local porque la función es decreciente para \(x < 0\) y creciente para \(x > 0\).

Maximos y minimos ejercicios

Ejemplo 6: Una función con un dominio restringido

Función: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) en el intervalo \(0 leq x leq 3\)

Paso 1: Encontrar los puntos críticos en el intervalo:
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 0 Rightarrow x = 2\)

Paso 2: Evaluar la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo:
\(f(0) = 3\)
\(f(2) = -1\)
\(f(3) = 0\)

Conclusión: El mínimo absoluto de la función en el intervalo es \(f(2) = -1\), mientras que el máximo absoluto es \(f(0) = 3\).

Ejemplo 7: Una función con un punto de silla

Función: \(f(x) = x^3\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = 3x^2\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(3x^2 = 0 Rightarrow x = 0\)

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = 6x\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en el punto crítico:
\(f''(0) = 0\)

Conclusión: La segunda derivada es cero en \(x = 0\), por lo que la prueba no nos da información. Podemos observar el comportamiento de la primera derivada: es negativa para \(x < 0\) y positiva para \(x > 0\), lo que indica que \(x = 0\) es un punto de silla. La función no tiene un máximo o mínimo local en ese punto.

Ejemplos de maximos y minimos

Ejemplo 8: Una función con dos puntos críticos

Función: \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 0\)
latex^3 = 0 Rightarrow x = 1[/latex]

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = 12x^2 - 24x + 12\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en el punto crítico:
\(f''(1) = 0\)

Conclusión: La segunda derivada es cero en \(x = 1\), por lo que la prueba no nos da información. Podemos observar el comportamiento de la primera derivada: es negativa para \(x < 1\) y positiva para \(x > 1\), lo que indica que \(x = 1\) es un mínimo local.

Ejemplo 9: Una función con un punto crítico que no está en el dominio

Función: \(f(x) = frac{1}{x}\) en el intervalo \(1 leq x leq 3\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = -frac{1}{x^2}\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
La derivada nunca es igual a cero, pero no está definida en \(x = 0\). Sin embargo, \(x = 0\) no está en el intervalo \(1 leq x leq 3\).

Paso 3: Evaluar la función en los extremos del intervalo:
\(f(1) = 1\)
\(f(3) = frac{1}{3}\)

Conclusión: El máximo absoluto de la función en el intervalo es \(f(1) = 1\), mientras que el mínimo absoluto es \(f(3) = frac{1}{3}\).

Ejemplo 10: Una función con un dominio infinito

Función: \(f(x) = x^2 - 4x\)

Paso 1: Calcular la primera derivada:
\(f'(x) = 2x - 4\)

Paso 2: Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\):
\(2x - 4 = 0 Rightarrow x = 2\)

Paso 3: Calcular la segunda derivada:
\(f''(x) = 2\)

Paso 4: Evaluar la segunda derivada en el punto crítico:
\(f''(2) = 2 > 0\)

Conclusión: \(x = 2\) es un mínimo local. Como la función es una parábola con la concavidad hacia arriba, no tiene un máximo absoluto.

Pasos importantes

Encontrar máximos y mínimos de una función implica los siguientes pasos:

1. Calcular la primera derivada de la función.
2. Encontrar los puntos críticos resolviendo la ecuación \(f'(x) = 0\) o identificando los puntos donde la derivada no está definida.
3. Calcular la segunda derivada de la función.
4. Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos.
5. Clasificar los puntos críticos como máximos, mínimos o puntos de silla utilizando la prueba de la segunda derivada.
6. Si la segunda derivada es cero o no está definida, analizar el comportamiento de la primera derivada o utilizar otras herramientas para clasificar el punto crítico.
7. Si la función tiene un dominio restringido, evaluar la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio.
8. Determinar los extremos relativos y absolutos de la función en el intervalo o dominio de interés.

Con estos pasos y 10 ejemplos de ejercicios de máximos y mínimos resueltos, ya tienes las herramientas para enfrentar cualquier problema relacionado con la optimización de funciones. ¡Practica con estos ejemplos y desafíate con nuevos problemas para consolidar tus habilidades en cálculo diferencial!

Video Referencial sobre el tema