Función par y función impar (con ejemplos)

En matemáticas, las funciones juegan un papel fundamental en la descripción de relaciones y patrones. Un concepto interesante que surge en el estudio de funciones es la paridad de funciones, que se refiere a la simetría de su gráfica con respecto al eje vertical. Las funciones se clasifican como funciones pares, funciones impares o una combinación de ambas.

Comprender la paridad de funciones nos permite identificar características importantes de su gráfica y simplificar cálculos en algunos casos. Por ejemplo, si sabemos que una función es par, podemos aprovechar esta información para obtener información sobre su comportamiento en el lado negativo del eje de abscisas a partir de su comportamiento en el lado positivo.

Este artículo tiene como objetivo introducirte al fascinante mundo de la paridad de funciones. Exploraremos qué son las funciones pares y funciones impares, cómo determinar su paridad, y analizaremos ejemplos para una mejor comprensión.

Funciones Pares: Simetría Especular

Una función par es una función que satisface la siguiente condición:

\(f(-x) = f(x)\)

para todo valor de x en su dominio. En otras palabras, la imagen de un número x es igual a la imagen de su opuesto -x.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje vertical. Esto significa que si doblas la gráfica por el eje y, ambas partes coincidirán perfectamente.

Ejemplos de funciones pares:

• La función \(f(x) = x^2\) es par, ya que \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\).
• La función \(f(x) = cos(x)\) también es par, dado que \(f(-x) = cos(-x) = cos(x) = f(x)\).
• La función \(f(x) = |x|\) es par, porque \(f(-x) = |-x| = |x| = f(x)\).

Funciones Impares: Simetría Rotacional

Una función impar es una función que cumple con la siguiente condición:

\(f(-x) = -f(x)\)

para todo valor de x en su dominio. Es decir, la imagen de un número x es igual al opuesto de la imagen de su opuesto -x.

La gráfica de una función impar presenta simetría rotacional de 180 grados alrededor del origen. Si giras la gráfica 180 grados, quedará superpuesta a su posición original.

Ejemplos de funciones impares:

• La función \(f(x) = x^3\) es impar, ya que \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\).
• La función \(f(x) = sen(x)\) también es impar, dado que \(f(-x) = sen(-x) = -sen(x) = -f(x)\).
• La función \(f(x) = x^5 - x\) es impar, porque \(f(-x) = (-x)^5 - (-x) = -x^5 + x = - (x^5 - x) = -f(x)\).

Determinando la Paridad de una Función: Un Juego de Regla

No todas las funciones son pares o impares. Algunas pueden ser una combinación de ambas o no encajar en ninguna de estas categorías. A continuación, te presentamos una guía para determinar la paridad de una función:

1. Reemplaza x por -x en la expresión de la función.
2. Simplifica la expresión resultante.
3. Compara la expresión simplificada con la expresión original de la función.

Si la expresión simplificada es idéntica a la expresión original, la función es par. Si la expresión simplificada es el opuesto de la expresión original, la función es impar. Si la expresión simplificada no cumple con ninguna de estas condiciones, la función no es ni par ni impar.

Ejemplo: Determina la paridad de la función \(f(x) = x^2 + 1\).

1. *Reemplazamos *x por -x: ** \(f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1\)
2. La expresión simplificada es idéntica a la expresión original.
3. Conclusión: La función \(f(x) = x^2 + 1\) es par.

La Función Nula: Un Caso Especial

La función nula \(f(x) = 0\) es un caso especial que es tanto par como impar. Esto se debe a que cumple con ambas condiciones:

\(f(-x) = 0 = f(x)\) (condición de función par)

\(f(-x) = 0 = -f(x)\) (condición de función impar)

Pasos Importantes

• Comprender la definición de función par e impar. Esto te permitirá identificar las características de la gráfica de la función.
• Ser capaz de determinar la paridad de una función. Sigue los pasos descritos en la sección anterior.
• Reconocer ejemplos de funciones pares e impares. Es importante familiarizarse con las funciones comunes que se clasifican como pares o impares.
• Recuerda que la función nula es tanto par como impar. Este es un caso especial a tener en cuenta.

¡Con este conocimiento, podrás explorar el fascinante mundo de la paridad de funciones y entender mejor el comportamiento de las funciones matemáticas!

Video Referencial sobre el tema