Integrales resueltas por partes

La integración por partes es una técnica fundamental en cálculo integral que permite resolver integrales de funciones que son producto de dos funciones. La clave de este método reside en la aplicación de una fórmula específica que transforma la integral original en otra, a menudo más fácil de resolver. Esta técnica resulta particularmente útil para integrales que involucran productos de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales o logarítmicas.

Este artículo te guiará a través del mundo de las integrales por partes con un enfoque práctico y accesible. Te proporcionaremos una explicación detallada de la fórmula y su aplicación, y te acompañaremos paso a paso en la resolución de diversos ejercicios de integrales por partes.

Nuestro objetivo es que, al finalizar la lectura, te sientas seguro para abordar cualquier integral por partes que se te presente.

La Fórmula de Integración por Partes

La fórmula de integración por partes es la piedra angular de este método. Se deriva de la regla del producto para derivadas y establece la siguiente relación:

\(
int u , dv = uv - int v , du
\)

Donde:

• u y v representan funciones diferenciables.
• du es la derivada de u.
• dv es la derivada de v.

La clave para utilizar esta fórmula reside en una elección estratégica de las funciones u y dv. La elección correcta puede simplificar la integral y facilitar su solución.

Ejercicios de Integrales por Partes: Pasos a Seguir

Estos son los pasos esenciales para resolver integrales por partes:

1. Identifica u y dv: El primer paso es identificar las funciones u y dv en la integral. Es importante elegirlas de manera que la integral v du sea más sencilla que la integral original u dv.
2. Calcula du y v: Calcula la derivada de u (du) y la integral de dv (v).
3. Aplica la fórmula: Sustituye los valores de u, dv, du y v en la fórmula de integración por partes.
4. Resuelve la integral v du: Resuelve la nueva integral v du, que debería ser más fácil de calcular que la integral original.
5. Combina los términos: Finalmente, combina los términos resultantes para obtener la solución final.

Ejemplos de Integración por Partes: Desde lo Simple a lo Complejo

Ejemplo 1: \(int x sin x , dx\)

1. Identifica u y dv:

   • Elegimos u = x porque su derivada, du = dx, es más simple.
   • Elegimos dv = sin x dx porque su integral, v = - cos x, también es relativamente simple.

2. Calcula du y v:

   • du = dx
   • v = - cos x

3. Aplica la fórmula:
   \(
   int x sin x , dx = x (- cos x) - int (- cos x) dx
   \)

4. Resuelve la integral v du:
   \(
   int (- cos x) dx = sin x + C
   \)

5. Combina los términos:
   \(
   int x sin x , dx = -x cos x + sin x + C
   \)

Ejemplo 2: \(int x^2 e^x , dx\)

1. Identifica u y dv:

   • Elegimos u = x^2 porque su derivada, du = 2x dx, se simplifica con cada integración.
   • Elegimos dv = e^x dx porque su integral, v = e^x, permanece constante.

2. Calcula du y v:

   • du = 2x dx
   • v = e^x

3. Aplica la fórmula:
   \(
   int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - int 2x e^x dx
   \)

4. Resuelve la integral v du: La integral 2x e^x dx requiere una nueva aplicación de integración por partes.

5. Combina los términos:
   \(
   int x^2 e^x , dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C
   \)

Ejemplo 3: \(int ln x , dx\)

1. Identifica u y dv:

   • Elegimos u = ln x porque su derivada, du = (1/x) dx, es más simple.
   • Elegimos dv = dx porque su integral, v = x, es sencilla.

2. Calcula du y v:

   • du = (1/x) dx
   • v = x

3. Aplica la fórmula:
   \(
   int ln x , dx = x ln x - int x (1/x) dx
   \)

4. Resuelve la integral v du:
   \(
   int x (1/x) dx = int dx = x + C
   \)

5. Combina los términos:
   \(
   int ln x , dx = x ln x - x + C
   \)

Integrales por Partes: Más allá de las Funciones Elementales

El método de integración por partes se extiende a integrales que involucran funciones más complejas, como las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas. En estos casos, la aplicación de la fórmula puede requerir más de una iteración.

Ejemplo 4: \(int arctan x , dx\)

1. Identifica u y dv:

   • Elegimos u = arctan x porque su derivada, du = (1/(1+x^2)) dx, es más simple.
   • Elegimos dv = dx porque su integral, v = x, es sencilla.

2. Calcula du y v:

   • du = (1/(1+x^2)) dx
   • v = x

3. Aplica la fórmula:
   \(
   int arctan x , dx = x arctan x - int x (1/(1+x^2)) dx
   \)

4. Resuelve la integral v du: La integral x (1/(1+x^2)) dx puede resolverse mediante una sustitución simple.

5. Combina los términos:
   \(
   int arctan x , dx = x arctan x - (1/2) ln (1+x^2) + C
   \)

Pasos Importantes

• Elección de u y dv: La elección estratégica de u y dv es fundamental para el éxito de la integración por partes.
• Manejo de Integrales Repetidas: En algunos casos, la integral v du puede requerir una nueva aplicación de la fórmula de integración por partes.
• Integración por Sustitución: En algunos casos, una integral por partes puede combinarse con la técnica de integración por sustitución para obtener la solución.
• Práctica Constante: La práctica es esencial para dominar la técnica de integración por partes. Resuelve una variedad de ejercicios de integrales por partes para fortalecer tu comprensión y desarrollar tu habilidad.

Con la práctica y la comprensión profunda de la fórmula de integración por partes, estarás equipado para abordar con confianza una amplia gama de integrales por partes. ¡Anímate a explorar y resolver los desafíos que te ofrece el cálculo integral!

Video Referencial sobre el tema