Eliminación de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales
El método de eliminación gaussiana (también conocido como eliminación gauss, eliminación de gauss, eliminación de Gauss, eliminacion gaussiana o eliminación gaussiana) es una técnica fundamental en álgebra lineal utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método se basa en la manipulación de las ecuaciones del sistema para convertirlo en una forma más simple, llamada forma escalonada, que facilita la resolución del sistema por sustitución hacia atrás. El método de eliminación gaussiana es versátil y se puede aplicar a una amplia gama de sistemas de ecuaciones, desde simples hasta complejos.
La idea principal detrás del método de eliminación gaussiana es convertir el sistema original de ecuaciones en una forma triangular superior. Esto se logra mediante operaciones elementales de filas, que son operaciones que no alteran la solución del sistema. Estas operaciones incluyen intercambiar filas, multiplicar una fila por una constante no nula y sumar un múltiplo de una fila a otra. Una vez que el sistema está en forma triangular superior, la solución se puede encontrar fácilmente por sustitución hacia atrás, comenzando con la última ecuación y trabajando hacia arriba.
Este artículo explora en profundidad el método de eliminación gaussiana y sus aplicaciones. Se explicarán los pasos involucrados en el método, se analizarán diferentes tipos de sistemas de ecuaciones y se presentarán ejemplos prácticos para ilustrar su aplicación.
Operaciones elementales de filas
El método de eliminación gaussiana se basa en la aplicación de operaciones elementales de filas a la matriz ampliada del sistema de ecuaciones. Estas operaciones no alteran la solución del sistema, por lo que son válidas para manipular el sistema y facilitar su resolución. Las operaciones elementales de filas son:
- Intercambio de filas: Intercambiar dos filas de la matriz.
- Multiplicar una fila por una constante: Multiplicar una fila de la matriz por una constante no nula.
- Sumar un múltiplo de una fila a otra: Sumar un múltiplo de una fila de la matriz a otra fila.
Estas operaciones se pueden representar con notación matricial, donde la matriz \(Ei\) representa la operación elemental de filas aplicada a la fila i-ésima de la matriz. Por ejemplo, la operación \(E1 = begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix}\) representa el intercambio de las filas primera y segunda.
Formas de matrices: escalonada y escalonada reducida
Las formas de matrices juegan un papel crucial en el método de eliminación gaussiana. Una matriz está en forma escalonada si cumple con las siguientes condiciones:
- Todas las filas nulas (filas que contienen solo ceros) están ubicadas en la parte inferior de la matriz.
- El primer elemento no nulo de cada fila (llamado pivote) está ubicado a la derecha del pivote de la fila anterior.
- Los elementos debajo de cada pivote son ceros.
Una matriz está en forma escalonada reducida si además cumple con la condición de que todos los pivotes son 1 y todos los elementos por encima de cada pivote son ceros.
La forma escalonada de una matriz es única, mientras que la forma escalonada reducida no. Por ejemplo, la matriz \(A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{pmatrix}\) está en forma escalonada, mientras que la matriz \(B = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix}\) está en forma escalonada reducida.
Pasos del método de eliminación gaussiana
El método de eliminación gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones lineales se puede resumir en los siguientes pasos:
- Escribir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones. La matriz ampliada del sistema es una matriz que contiene los coeficientes de las variables del sistema en la parte izquierda y los términos independientes en la parte derecha.
- Convertir la matriz ampliada a forma escalonada usando operaciones elementales de filas. Esto se puede lograr mediante los siguientes pasos:
- Identificar el pivote de la primera fila.
- Usando operaciones elementales de filas, convertir todos los elementos debajo del pivote a ceros.
- Repetir los pasos anteriores para cada fila, comenzando con la segunda fila y trabajando hacia abajo.
- Convertir la matriz ampliada a forma escalonada reducida (opcional). Este paso facilita la interpretación de la solución del sistema, pero no es necesario para resolver el sistema.
- Escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz escalonada.
- Resolver el sistema por sustitución hacia atrás.
Ejemplos de aplicación del método de eliminación gaussiana
Para comprender mejor el método de eliminación gaussiana, consideremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Sistema compatible determinado
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
\(begin{aligned}
x + 2y + 3z &= 1
2x + 5y + 7z &= 2
3x + 8y + 11z &= 3
end{aligned}
\)
La matriz ampliada de este sistema es:
\(begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1
2 & 5 & 7 & 2
3 & 8 & 11 & 3
end{pmatrix}
\)
Aplicando operaciones elementales de filas, podemos convertir esta matriz a forma escalonada:
\(begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1
0 & 1 & 1 & 0
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
\)
El sistema de ecuaciones correspondiente a esta matriz escalonada es:
\(begin{aligned}
x + 2y + 3z &= 1
y + z &= 0
end{aligned}
\)
Resolviendo por sustitución hacia atrás, obtenemos la solución:
\(begin{aligned}
z &= t
y &= -t
x &= 1 - t
end{aligned}
\)
Donde t es un parámetro arbitrario. Este sistema tiene infinitas soluciones, ya que la variable z puede tomar cualquier valor.
Ejemplo 2: Sistema compatible indeterminado
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
\(begin{aligned}
x + 2y + 3z &= 4
2x + 4y + 6z &= 8
3x + 6y + 9z &= 12
end{aligned}
\)
La matriz ampliada de este sistema es:
\(begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4
2 & 4 & 6 & 8
3 & 6 & 9 & 12
end{pmatrix}
\)
Aplicando operaciones elementales de filas, podemos convertir esta matriz a forma escalonada:
\(begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 0
end{pmatrix}
\)
El sistema de ecuaciones correspondiente a esta matriz escalonada es:
\(x + 2y + 3z = 4
\)
Resolviendo por sustitución hacia atrás, obtenemos la solución:
\(begin{aligned}
x &= 4 - 2s - 3t
y &= s
z &= t
end{aligned}
\)
Donde s y t son parámetros arbitrarios. Este sistema tiene infinitas soluciones, ya que las variables y y z pueden tomar cualquier valor.
Ejemplo 3: Sistema incompatible
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
\(begin{aligned}
x + 2y + 3z &= 1
2x + 4y + 6z &= 2
3x + 6y + 9z &= 4
end{aligned}
\)
La matriz ampliada de este sistema es:
\(begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1
2 & 4 & 6 & 2
3 & 6 & 9 & 4
end{pmatrix}
\)
Aplicando operaciones elementales de filas, podemos convertir esta matriz a forma escalonada:
\(begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 1
0 & 0 & 0 & 0
0 & 0 & 0 & 1
end{pmatrix}
\)
La última fila de esta matriz representa la ecuación \(0x + 0y + 0z = 1\), que es una contradicción. Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
Pasos importantes
El método de eliminación gaussiana es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El proceso implica manipular las ecuaciones del sistema utilizando operaciones elementales de filas para obtener una forma escalonada, lo que facilita la resolución del sistema por sustitución hacia atrás. Es importante recordar que el método de eliminación gaussiana se puede aplicar a sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y variables.
Este método proporciona un enfoque sistemático y eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales y se utiliza ampliamente en diversas áreas, como matemáticas, física, ingeniería y economía.
Video Referencial sobre el tema
